小学数学中有一些一看就懂的基本常识，有时可以解决一些很难的题目，在培养孩子数学思维和开阔眼界上能发挥意想不到的的作用。比如，最常见的鸽笼原理，极端原理，反证法，染色法就是如此。下面以极端原理为例具体探讨一下。

一.极端原理的基本概念

数学中的极端原理有好几个，今天讲讲最常见的最大数原理和最小数原理。这两个原理的内容非常简单：在一组数中，一定存在一个最大的数，也一定存在一个最小的数。这个结论基本不证自明，一目了然。但是，往往看似简单的道理，其实并不简单，运用好了可以解决一些非常难的大题。

二.原理的运用

例1 正误判断：已知三角形内角和为180°，则任意一个三角形中，一定有一个角不小于60°，也一定有一个角不大于60°。

解析：题目条件中并没有给出一个特殊三角形三个角之间的角度关系， 反而是要求学生考虑任意三角形的一种共性，不是考查学生简单的四则混合运算能力，而是考查学生的探索归纳能力，因此有一定的难度，一些学生感到无从下手。但是，从最大数原理和最小数原理出发，此题可迎刃而解。

三角形一共有三个角，根据最大数原理和最小数原理，这三个角中一定有一个最大，也一定有一个最小，如果最大角小于60°，那么三个内角和也将小于180°，与三角形内角和为180°矛盾；同理，如果最小角大于60°，那么三个内角和也将大于180°，同样与三角形内角和为180°矛盾。因此，任意一个三角形中，最大角一定不小于60°，最小角一定不大于60°。原题叙述内容是正确的。

例2暑假期间某电视台播放一部50集少儿电视连续剧，在播放期间，假定每天至少播5集，任何两天播放的集数不同，问：播完此剧最多需要几天？

解析：显然每天播放的集数越少，则播完所需时间越长，因此可以运用最小数原理来解此题。第一天可以播5集，但是第二天不能也播5集——因为题目条件要求每天播放的集数不同，因此从最小数原理出发，第二天应该播6集，同理，第3天播7集，......，由于5+6+7+8+9+10=45，按此规律，第7天只能播5集，与第1天重复，因此，必须做出调整：前5天按5，6，7，8，9播放，这样一共播了5+6+7+8+9=35集，第6天必须一次播完剩下15集才能满足任何两天播放的集数不同这一要求，所以，播完此剧最多需要6天。

例3某市举行小学生乒乓球比赛，共有30名学生代表各自学校参赛。这30个学生有些相互之间认识，有些不认识。证明：一定有两个学生，他们认识的人数一样多。

解析：此题看似条件不够，无法下手，其实可以用反证法：（1） 假设没有两个学生认识的人数一样多，那么每个学生认识的人数都不一样。

（2）总共30名学生，因此，每个学生认识的人数最多29个，最少0个。

（3）按认识的人数给这30个学生排列， 即0，1，2，3，...，29 ，但是认识29个人的学生显然认识其余所有人，因此， 认识0个人的学生显然不存在，这样就导致矛盾,推出假设错误。

（4）所以，肯定有两个学生，他们认识的人数一样多。

此题也可以运用鸽笼原理证明。

例4某校举行围棋比赛，共有40名学生报名参加，每两名学生之间都要赛一场。举行若干场后发现，没有两个学生赛过的对手完全相同。证明：一定可以去掉一名学生，使剩下的39名学生中，此时仍然没有两个学生赛过的对手完全相同。

解析：此题与例3一样，都是如何处理一组相互关系不明确的数 的问题，对此类问题，最好的办法就是极端原理+反证法。

（1）假设不存在这样的学生，那么对这40名学生中的每一个，肯定都有两个学生：他们赛过的对手除了这名学生外完全一样，而且其中一个与这名学生赛过，另外一个则没有。

(2)设大忙人是这40名学生中，到目前为止赛过的对手最多的。那么一定有甲和乙，他们赛过的对手除了大忙人外完全一样，而且其中一个与大忙人赛过，另外一个则没有。假定甲与大忙人赛过，乙没有。

（3）对乙，也一定有丙和丁，他们赛过的对手除了乙外完全一样，而且其中一个与乙赛过，另外一个则没有。假定丙与乙赛过，丁没有。

由(2)，甲与丙也赛过，甲与丁也赛过。

（4）这里大忙人与丁会不会是同一人呢？不可能，因为如果是同一人的话，丙就比大忙人多赛一场，与大忙人是到目前为止赛过的对手最多的设定矛盾。

（5）因此，丁和大忙人一样，都是与甲赛过，与乙没有。这就与前面甲乙赛过的对手除了大忙人外完全一样矛盾，所以，假设错误，因此， 一定可以去掉一名学生，使剩下的39名学生中，仍然没有两个学生赛过的对手完全相同。

小结：从上面的例子可以看出，在面对一组数或数据时，看似简单的最大数原理和最小数原理，运用好了，可以解决一些看似无从下手的 题目，尤其是这些数之间的关系不是很明确的情况下，更是有力的武器。

回复　

怎么样在小学竞赛赢得比赛，提前学初中知识，进行降维打击。初中提前学高中，高中提前学大学。等提前不了的时候，所有得比赛就公平了，也就是为什么现代数学里，顶尖水平大部分在国外的缘故。

下面看几道练习。

1. 一个圆环上均匀排列着50个数，每个数都等于与之相邻的两个数的平均值。若这50个数中有一个等于26，问：其他49个数分别等于多少？

2.80本书分给17个学生，每个学生至少分到1本，证明：不管怎么分，至少有3个学生分到的书一样多。

3.某区举办小学生足球赛循环赛，共有10支球队参加，每两支球队都将比赛一场，且一定分出胜负。证明：比赛结束后，一定存在一支球队，其他9支球队要么是它手下败将，要么是它手下败将的手下败将。

4. 某校举行乒乓球混双比赛，共有来自12个班的24名同学参加比赛，每个班分别选出男女生各一名代表班级出战。这24名学生中有些相互之间认识，有些不认识，结果代表某班参赛的男生经过调查发现：除他外，其他所有参赛学生不认识的人的人数都不一样。问：代表该班参赛的女生认识的学生有几个？（假定同班同学肯定相互认识）

下面看几道练习。

1. 一个圆环上均匀排列着50个数，每个数都等于与之相邻的两个数的平均值。若这50个数中有一个等于26，问：其他49个数分别等于多少？

解析：题目要求求50个数的大小，一道题中要求一次求50个数的大小，潜台词就是这50个数之间有比较特殊的关系，因此突破口就在这50个数之间的关系上。如何寻找这50个数之间的关系呢？

看看已知条件：（1）50个数排成一个圆环，每个数都等于与之相邻的两个数的平均值；（2）这50个数中有一个等于26。

普通思路从50个数中任意一个出发思考：50个数排成一个圆环，要求其中的某一个，必须知道与之相邻的两个数的大小，而要知道这两个相邻数的大小又必须知道另外两组相邻数的大小，而另外两组相邻数的大小又依赖其他相邻数的大小，依次推下去，由于这50个数排成一个圆环，首尾相接，要知道这些相邻数的大小 必须要先知道最开始要求的那个数的大小，因此似乎是个死循环，无法下手。

极端原理思路从特殊数——即最大数或最小数出发思考：这50个数中一定有一个最大的（当然最大数可能不止一个，可以有几个），

由条件（1）： 最大数 = （左边的相邻数 + 右边的相邻数 ）/2或 最大数 + 最大数 = 左边的相邻数 + 右边的相邻数

由于最大数是50个数中最大的，因此，如果左边的相邻数 和 右边的相邻数 这两个数中，有一个比最大数小，它们的和肯定也比2个最大数的和小。

由此可以推出：左边的相邻数 和 右边的相邻数都与最大数一样大，即 左边的相邻数 =最大数= 右边的相邻数，与最大数相邻的两个数与最大数一样大。

把这个思考过程用在左边的相邻数 和 右边的相邻数上，同样能得出相似的结论 ：与这两个数 相邻的数，与这 两个数一样大。 依次类推 ，得到的结论是：与这50个数中任意一个相邻的两个数，与这个数一样大，由于这50个数首尾相接，因此 所有50个数都一样大。

那么这50个相等的数到底是多大呢？由条件（2）：这50个数中有一个等于26，由此可以得出答案：其他49个数都等于26.

2. 80本书分给17个学生，每个学生至少分到1本，证明：不管怎么分，至少有3个学生分到的书一样多。

解析：80本书分给17个学生，每个学生至少分到1本，符合这个要求的分配方法很多，不可能把所有分配方法都列出来再一个个检查，看看是不是至少有3个学生分到的书一样多。正难则反，直接解答比较困难时，可以考虑从反面出发： 即 思考与结论相反的情况。

假设有一种分配方法，没有3个学生分到的书一样多，那么在极端情况下只能这么分：17个学生中，有2个学生各分到1本，有2个学生各分到2本，有2个学生各分到3本，...，有2个学生各分到8本，最后一个学生分到9本。这样总共需要：2 +4+6+8+10+12+14+16 +9 =81 本，即最少需要81本书，才能保证没有3个学生分到的书一样多，但是题目条件只有80本书，所以， 不管怎么分，至少有3个学生分到的书一样多。

3.某区举办小学生足球赛循环赛，共有10支球队参加，每两支球队都将比赛一场，且一定分出胜负。证明：比赛结束后，一定存在一支球队，其他9支球队要么是它手下败将，要么是它手下败将的手下败将。

解析： 此题即使从常识出发，也会想到符合条件的球队很可能是获胜场次最多的球队，因此，直接从极端原理出发，思考获胜场次最多的球队是否就是符合条件的那支球队。

假设A 队是获胜场次最多的球队（可以不是唯一的）：

（1）如果A队是全胜，那么其他9支球队都是它手下败将，符合条件要求；

（2）如果A队不是全胜，那么一定有球队击败它，假设B 队击败了A队。下面要思考：B队是否一定被A队的某个手下败将击败过？答案是一定。

因为，如果相反，那么B队战胜了所有A 队的手下败将，由于B队还战胜了A队，那么B队的获胜场次就比A队要多一次，这与假设A 队是获胜场次最多的球队矛盾。因此，B队一定是A队手下败将的手下败将，同样符合条件要求。

所以，其他9支球队要么是A队手下败将，要么是A队手下败将的手下败将，A队就是符合要求的球队。

4. 某校举行乒乓球混双比赛，共有来自12个班的24名同学参加比赛，每个班分别选出男女生各一名代表班级出战。这24名学生中有些相互之间认识，有些不认识，结果代表某班参赛的男生经过调查发现：除他外，其他所有参赛学生不认识的人的人数都不一样。问：代表该班参赛的女生认识的学生有几个？（假定同班同学肯定相互认识）

解析：此题要求求出一个具体的数值，看似条件比较模糊，很难发现突破口。题目条件中，12个班，24名同学，这24名学生中有些相互之间认识，有些不认识，这些都推不出有用的结论，因此 猜测突破口应该在 ：“除他外，其他所有参赛学生不认识的人的人数都不一样” 这句话上。为叙述方便，假定进行调查的那个男生 叫 小明。

（1）总共24名同学 ，因此除小明外，共有23名学生，这23名学生不认识的人数最多22个（即 只认识自己班的同学，其他班的同学都不认识），最少0个（其他23人都认识），也就是说，不认识的人数，只能是 0，1，2，3，...，22 中的某一个。

而 0，1，2，3，...，22 这些数刚好是23个，因此由“除他外，其他所有参赛学生不认识的人的人数都不一样” 这句话推出：这23个学生，与0，1，2，3，...，22 这23个数刚好一一对应，也就是说： 不认识的人数为0，1，2，3，...，22 的学生都刚好只有一个 。因此可以给这23个学生编号0，1，2，3，...，22，分别称为 0号学生，1号学生，2号学生，...，22号学生；并且0号学生不认识的人数为0，1号学生不认识的人数为1，2号学生不认识的人数为2，以此类推。

从极端原理出发，思考这23个学生中，编号最小和编号最大的两个学生，即0号学生和22号学生的关系：0号学生，不认识的人数为0，也就是认识所有 其他23名学生；22号学生，不认识的人有22个，即22号学生除同班同学外，所有其他班的同学都不认识，换句话说： 与 22号学生认识的 只能是同班同学，而这23人中，只有0号学生认识所有人，也就是只有0号学生认识22号学生。因此，得到一个结论：0号学生和22号学生是同班的。这就是此题的突破口。

（2）同理，1号学生和21 号 学生也是同班的。因为，假定把 0号学生和22 号学生 从这23名学生中去掉（因为这两个学生同班，相当于从12个班里面去掉一个班，剩下11个班，参赛班级由12个变为11个，其他条件与原题一样），在剩下的21名学生中：1号学生和21号学生 分别代替了前面0号学生和22号学生的位置，也就是说1号学生编号最小，21号学生编号最大，所以，根据上面（1）的思考结论：这两个学生也是同班的。

同样，2号学生和20号学生也是同班的，...，也就是说：这23个学生中，凡是 编号和为22的两个学生都是同班的， 即： 0，22 ；1，21；2，20；3，19；4，18；5，17；6，16；7，15；8，14；9，13；10，12；这些数共22 个，剩下一个是11。

（3） 除小明外的这23个 学生 是:与小明 同班的女生和 所有其他班的学生。 这23个学生中，只有11号学生 找不到同班的同学，所以，11号学生就是与小明同班的女生。由于学生编号就是学生不认识的人数，因此，该女生不认识的人有11个，所以，她认识的学生应该有12个。

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